Este curso introduce el cálculo vectorial y el estudio de funciones vectoriales y campos en el espacio. Comienza con funciones vectoriales y curvas parametrizadas, junto con su derivación y propiedades geométricas como longitud de arco y curvatura. Luego se introducen campos escalares y vectoriales, junto con integrales de línea y el estudio de campos conservativos y funciones potenciales. Posteriormente se desarrollan superficies parametrizadas e integrales de superficie, incluyendo el cálculo de flujo. Finalmente se presentan teoremas fundamentales del cálculo vectorial como los teoremas de Green, Stokes y la Divergencia, que relacionan integrales de línea, superficie y volumen.

Contenidos del Curso

Cálculo III

Interrogación 1

Clase 1 — Funciones vectoriales y curvas parametrizadas

• Definición de función vectorial y funciones componentes
• Curvas parametrizadas y ecuaciones paramétricas
• Parametrización de curvas simples y rectas
• Parametrización en coordenadas polares

Clase 2 — Derivación de funciones vectoriales

• Derivada de una función vectorial
• Interpretación geométrica del vector tangente
• Recta tangente a una curva
• Vector velocidad y vector aceleración
• Reglas de derivación
• Longitud de arco y longitud de una curva

Clase 3 — Longitud de arco, curvatura, torsión y Frenet–Serret

• Parametrización por longitud de arco
• Curvatura de una curva
• Torsión de una curva
• Vectores tangente, normal y binormal
• Planos normal, osculador y rectificador
• Fórmulas de Frenet–Serret

Interrogación 2

Clase 4 — Campos e integrales de línea

• Definición de campo escalar y representación gráfica
• Definición de campo vectorial y representación gráfica
• Integral de línea de campos escalares y vectoriales

Clase 5 — Teorema fundamental de integrales de línea y campos conservativos

• Campos gradiente
• Función potencial
• Independencia de la trayectoria
• Teorema fundamental de las integrales de línea
• Condiciones de conservatividad

Clase 6 — Teorema de Green

• Enunciado del Teorema de Green
• Interpretación geométrica
• Relación entre integrales de línea e integrales dobles
• Aplicaciones al cálculo de áreas
• Operadores rotacional y divergencia en el plano

Interrogación 3

Clase 7 — Superficies parametrizadas

• Superficies parametrizadas
• Parametrización coordenadas polares
• Parametrización coordenadas cilíndricas
• Parametrización coordenadas esféricas
• Parametrización superficies de revolución

Clase 8 — Geometría diferencial de superficies

• Plano tangente a una superficie
• Derivadas parciales de parametrizaciones
• Vector normal a una superficie
• Área de superficies
• Aplicaciones geométricas

Clase 9 — Integrales de flujo

• Integrales de superficie de campos escalares
• Integrales de superficie de campos vectoriales
• Interpretación geométrica del flujo

Examen

Clase 10 — Teorema de Stokes

• Enunciado del Teorema de Stokes
• Relación entre integral de línea y rotacional
• Aplicaciones del Teorema de Stokes
• Orientación de curvas y superficies

Clase 11 — Teorema de la divergencia

• Enunciado del Teorema de la divergencia
• Relación entre flujo e integrales triples
• Aplicaciones a regiones cerradas
• Interpretación física del teorema