Álgebra Lineal

Este curso de Álgebra Lineal proporciona las herramientas fundamentales para modelar y resolver problemas complejos en ingeniería, tales como el diseño de estructuras, análisis de señales y robótica. El estudio comienza con la geometría y el álgebra de vectores, integrando conceptos como el producto punto y la representación de rectas y planos. A partir de esta base, se introducen los sistemas de ecuaciones lineales y las técnicas de reducción por filas (formas escalonadas y reducidas) para determinar la existencia y unicidad de las soluciones. Este bloque inicial establece el primer vínculo con las transformaciones lineales y su representación a través de ecuaciones matriciales. A continuación, la asignatura profundiza en el álgebra matricial, analizando operaciones, matrices inversas y elementales, junto con el estudio exhaustivo de los determinantes y sus aplicaciones en el cálculo de áreas y volúmenes. Se exploran las estructuras abstractas de los espacios y subespacios vectoriales, definiendo conceptos críticos como el espacio nulo, el espacio columna, la dimensión y el rango de una matriz. Este análisis se complementa con el estudio de vectores coordenados y el cambio de base, lo que permite comprender cómo las transformaciones se comportan bajo distintos sistemas de referencia en Rn. Finalmente, el curso aborda la teoría espectral y la ortogonalidad, herramientas clave para la simplificación de sistemas dinámicos y modelos estadísticos. Se estudian los valores y vectores propios, la diagonalización de matrices y el tratamiento de valores complejos. La etapa final se centra en la geometría de los espacios interiores, incluyendo proyecciones ortogonales, el proceso de Gram-Schmidt y la resolución de problemas de mínimos cuadrados. El recorrido concluye con descomposiciones avanzadas como la factorización QR, Cholesky y la descomposición en valores singulares (SVD), además del análisis de formas cuadráticas y matrices simétricas mediante el teorema espectral.

Clases

Clase 1 — Álgebra de Vectores y Geometría

• Geometría y álgebra de vectores.
• Producto punto.
• Rectas y planos.

Clase 2 — Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

• Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.
• Sistema de ecuaciones lineales.
• Matriz de un sistema. Ecuación vectorial. Ecuación matricial.

Clase 3 — Reducción por Filas y Transformaciones Lineales

• Formas escalonada y Forma escalonada reducida. Algoritmo de reducción por filas.
• Teorema de existencia y unicidad.
• Introducción a las transformaciones lineales. Matriz de una transformación lineal.

Clase 4 — Operaciones e Inversa de Matrices

• Operaciones de matrices.
• Matriz simétrica. Transpuesta de una matriz.
• La inversa de una matriz.

Clase 5 — Ecuaciones Matriciales y Transformaciones Invertibles

• Matrices elementales y sus inversas.
• Ecuaciones matriciales.
• Transformaciones lineales invertibles.

Clase 6 — Determinantes y Regla de Cramer

• Conocer el determinante de una matriz.
• Estudiar las propiedades básicas del determinante y la relación con las matrices invertibles.
• Regla de Cramer y fórmula de la inversa en términos de determinantes.

Clase 7 — Espacios Vectoriales, Áreas y Volúmenes

• Uso del determinante para el cálculo de áreas y volúmenes bajo transformaciones lineales.
• Espacios y subespacios vectoriales.
• Espacios nulos, espacios columnas y transformaciones lineales.

Clase 8 — Dimensiones, Rango y Espacios de una Matriz

• Dimensión. Dimensiones de espacios asociados a una matriz.
• Espacio fila. Rango de una matriz.
• Teorema del Rango.

Clase 9 — Coordenadas y Cambio de Base

• Vector coordenado. Coordenadas en Rn.
• Matriz de cambio de coordenadas. Cambio de coordenadas en Rn.
• Cambio de base.

Clase 10 — Valores Propios, Diagonalización y Sistemas Dinámicos

• Valor propio. Vector propio. Espacio propio.
• Ecuación característica. Similitud. Aplicación a los sistemas dinámicos.
• Diagonalización.

Clase 11 — Ortogonalidad y Valores Propios Complejos

• Matriz de una transformación. Similitud de representaciones.
• Valores propios complejos.
• Producto interior. Longitud. Ortogonalidad. Complemento ortogonal.

Clase 12 — Proyecciones Ortogonales y Proceso de Gram-Schmidt

• Conjuntos ortogonales. Matrices ortogonales.
• Proyecciones ortogonales. Teorema de descomposición ortogonal. Mejor aproximación. Matriz de proyección.
• Proceso de Gram-Schmidt. Factorización QR.

Clase 13 — Mínimos Cuadrados y Formas Cuadráticas

• Problemas y soluciones de mínimos cuadrados. Aplicación a modelos lineales.
• Diagonalización de matrices simétricas. Teorema espectral. Descomposición espectral.
• Definición y clasificación de formas cuadráticas.

Clase 14 — Factorización de Cholesky y Valores Singulares (SVD)

• Factorización de Cholesky.
• Descomposición en valores singulares.