Cálculo II

Clase 0 — Repaso Cálculo I

• Igualdades trigonométricas
• Límites e indeterminaciones comunes.
• Regla de L’Hôpital indeterminaciones
• Tabla de derivadas
• Reglas de derivación: producto, cociente, regla de la cadena, etc
• Tabla de integrales
• Reglas de integración: sustitución, integración por partes, fracciones parciales, etc

Clase 1 — Integrales Impropias

• Integrales impropias tipo I: intervalos infinitos.
• Técnicas de resolución integrales tipo I
• Integrales impropias tipo II: integrandos con asíntotas verticales.
• Técnicas de resolución integrales tipo II
• Criterios de convergencia:
  • Comparación directa.
  • Comparación en el límite.

Clase 2 — Sucesiones y Convergencia

• Definiciones: sucesión, límite de sucesión.
• Propiedades básicas: acotamiento, monotonicidad.
• Teorema de sucesiones monótonas y acotadas.
• Inducción matemática en demostraciones de convergencia.
• Cálculo de límites de sucesiones

Clase 3 — Series Numéricas I

• Definición de serie: sumas parciales, convergencia y divergencia.
• Series geométricas: convergencia y suma.
• Criterios básicos:
  • Criterio de la integral.
  • Criterio de la comparación directa.
  • Criterio de la comparación en el límite.
• Series alternantes:
  • Criterio de Leibniz.
  • Estimación del error en series alternantes.
• Convergencia absoluta vs. condicional.

Clase 4 — Series Numéricas II

• Criterios avanzados de convergencia:
  • Criterio de la raíz.
  • Criterio del cociente (o razón).
• Series de potencias:
  • Definición series de potencia
  • Cálculo raido de convergencia
  • Definición intervalo de convergencia
• Series de Taylor:
  • Desarrollo de funciones elementales: sin(x), cos(x), etc
  • Resto de Taylor y convergencia de la aproximación.

Clase 5 — Vectores y Geometría 3D

• Vectores en ℝ³:
  • Definiciones: vector, magnitud, sentido, dirección.
  • Operaciones: suma, producto punto (escalar), producto cruz (vectorial).
• Aplicaciones geométricas:
  • Rectas en el espacio: formas paramétrica y vectorial.
  • Planos en el espacio: forma vectorial y escalares
  • Posiciones relativas: paralelismo, perpendicularidad, intersecciones.

Clase 6 — Funciones de Varias Variables I

• Definición de función de varias variables.
• Dominio y rango.
• Gráficas y curvas de nivel.
• Superficies cuadráticas clásicas (paraboloides, elipsoides, hiperboloides).
• Límites y continuidad en varias variables:
  • Técnicas de cálculo de límites.
  • Ejemplo con coordenadas polares.
• Definición derivadas parciales como límites

Clase 7 — Derivadas funciones de varias variables

• Derivadas parciales
• Interpretación geométrica: pendiente direccional.
• Derivadas de orden superior.
• Teorema de Clairaut
• Planos tangentes y aproximaciones lineales.
• Diferenciabilidad: condiciones básicas.

Clase 8 — Regla de la Cadena y vector gradiente

• Regla de la cadena en varias variables.
• Derivación implícita.
• Derivadas direccionales.
• Gradiente:
  • Interpretación como vector normal.
  • Aplicaciones geométricas (planos y normales).

Clase 9 — Extremos de Funciones

• Máximos y mínimos locales:
  • Criterio de la segunda derivada.
  • Matriz Hessiana.
• Extremos absolutos en dominios cerrados y acotados.
• Multiplicadores de Lagrange.
• Optimización con y sin restricciones.

Clase 10 — Integrales Dobles

• Definición de integral doble.
• Integrales iteradas en rectángulos.
• Regiones generales tipo I y II.
• Cambio de variables a coordenadas polares.
• Aplicaciones integrales dobles: cálculo de áreas y volúmenes

Clase 11 — Integrales Triples I

• Definición de integral triple.
• Evaluación en regiones simples.
• Coordenadas cilíndricas.
• Cálculo de integrales triples con coordenadas cilíndricas

Clase 12 — Integrales triples II y Cambio de Variable integrales múltiples

• Coordenadas esféricas.
• Cálculo de integrales triples con coordenadas esféricas
• Aplicaciones integrales triples: cálculo de volúmenes, masa, etc
• Transformaciones en el plano y en el espacio.
• Jacobiano y cambio de variable en integrales múltiples.