Optimización

Descripción del Curso

Este curso entrega las bases para formular y resolver problemas de decisión en ingeniería, economía y ciencias aplicadas. Comienza con la modelación matemática, aprendiendo a traducir situaciones reales en funciones objetivo y restricciones, y se revisan los fundamentos teóricos que aseguran la validez de los modelos: existencia de soluciones, convexidad y equivalencias.

A partir de allí se estudia la programación lineal, analizando tanto su formulación algebraica como la geometría de los poliedros factibles. Esto abre paso al método simplex, incluyendo sus fases, casos particulares y las herramientas para interpretar correctamente las soluciones. Una vez dominadas estas técnicas, el curso avanza al análisis postóptimo y la dualidad, que permiten entender la sensibilidad de los resultados y el rol económico de las variables duales.

El recorrido continúa con problemas de mayor complejidad, como la programación entera, donde se utilizan métodos combinatorios como branch and bound y cortes de Gomory. Finalmente, se aborda la optimización no lineal, tanto en casos irrestrictos como restringidos, lo que permite generalizar las herramientas aprendidas a contextos más realistas y de aplicación transversal.

Contenidos Principales

Clase 1 — Modelación I

• Identificación de variables de decisión, conjuntos, parámetros y restricciones.
• Construcción de la función objetivo a partir de problemas reales.
• Tipos de variables: continuas, enteras, binarias.
• Tipos de reestricciones: Big-M, exclusión, máximo de días seguidos, etc

Clase 2 — Modelación II

• Modelos con múltiples restricciones.
• Problemas de distribución, asignación, exclusión, etc

Clase 3 — Fundamentos Matemáticos

• Teorema de Bolzano–Weierstrass: existencia de puntos de acumulación en conjuntos acotados.
• Condiciones de existencia de soluciones en problemas de optimización.
• Definición de convexidad: funciones convexas, conjuntos convexos.
• Propiedades de convexidad: minimización sobre conjuntos convexos garantiza soluciones globales.
• Modelos equivalentes: cómo reescribir un problema manteniendo soluciones.

Clase 4 — Programación Lineal y Geometría Poliédrica

• Definición de programación lineal (PL) en forma estándar.
• Geometría de poliedros: conjunto factible como intersección de semiespacios.
• Poliedros y politopos: diferencia entre conjuntos ilimitados y acotados.
• Concepto de rayos de escape: dirección en que el problema puede crecer indefinidamente.
• Relación entre vértices del politopo y soluciones óptimas.

Clase 5 — Método Simplex (Fase II)

• Idea del algoritmo: recorrer los vértices del poliedro factible.
• Construcción de la tabla simplex.
• Regla de pivoteo: cómo elegir la variable entrante y saliente.
• Criterios de optimalidad: cuándo detener el algoritmo.

Clase 6 — Método Simplex: Casos Especiales y Fase I

• Degeneración y ciclo.
• Múltiples soluciones óptimas problemas acotados y no acotados
• Inexistencia de solución factible.
• Método de la Fase I: encontrar una solución factible inicial.

Clase 7 — Análisis Postóptimo y Dualidad

• Sensibilidad: cómo cambian los resultados ante variaciones de coeficientes.
• Análisis de rango en coeficientes de la función objetivo.
• Definición del problema dual asociado a un primal.
• Interpretación económica de las variables duales (precios sombra).
• Teorema de dualidad fuerte y débil: condiciones de optimalidad primal–dual.

Clase 8 — Programación Entera

• Introducción a problemas con variables enteras.
• Diferencia entre PL continua y entera: dificultad computacional.
• Método de branch and bound: división del espacio de búsqueda.
• Algoritmos de cortes de Gomory para refinar soluciones.

Clase 9 — Optimización No Lineal Irrestrica

• Definición de problemas no lineales y diferencias con PL.
• Condiciones de optimalidad de primer y segundo orden.
• Métodos de búsqueda: descenso más pronunciado, Newton.
• Propiedades de convexidad en funciones no lineales.

Clase 10 — Optimización No Lineal Restringida

• Incorporación de restricciones de igualdad y desigualdad.
• Multiplicadores de Lagrange y condiciones de Karush–Kuhn–Tucker (KKT).
• Interpretación de los multiplicadores como “precios sombra” en problemas no lineales.
• Métodos de resolución y diferencias entre problemas convexos y no convexos.

Metodología

Clases Teóricas

• Explicación clara de conceptos fundamentales
• Demostración de teoremas principales
• Ejemplos resueltos paso a paso

Clases Prácticas

• Resolución de ejercicios tipo
• Aplicaciones en problemas reales
• Preparación para certámenes y exámenes

Apoyo Personalizado

• Sesiones de consulta individuales
• Revisión de ejercicios específicos
• Estrategias de estudio personalizadas

Perfil del Estudiante

Este curso está diseñado para:

• Estudiantes de primer año de ingeniería
• Alumnos que necesiten reforzar conceptos básicos de cálculo
• Estudiantes que busquen mejorar sus calificaciones en MAT1610
• Quienes deseen una base sólida para Cálculo II

Recursos Incluidos

• Guías de ejercicios progresivas
• Formularios y tablas de referencia
• Acceso a grabaciones de sesiones
• Material complementario digital
• Simulacros de certámenes

Evaluación y Seguimiento

• Evaluaciones periódicas de progreso
• Feedback personalizado continuo
• Simulacros de certámenes reales
• Seguimiento de objetivos académicos

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